Маятники

МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ
Математичний і пружинний маятники.
Період коливань математичного і пружинного маятників.

Математичний і пружинний маятники є коливальними системами, які за певних умов здійснюють гармонічні механічні коливання. 

Математичним маятником називають матеріальну точку, підвішену на невагомій і нерозтяжній нитці. Це ідеальна коливальна система. Якщо подібний маятник не можна вважати матеріальною точкою або не можна знехтувати вагою тіла і розтягом підвісу, то маятник називають фізичним. Такий маятник коливається подібно до математичного. 

Підвісимо матеріальну точку масою m на нитці довжиною l і відхилимо отриманий маятник на кут a від положення рівноваги (рис.5.1.3). 

 

На тіло діятимуть (якщо знехтувати силами тертя і опору повітря) сила тяжіння і сила натягу нитки , рівнодійна яких і буде надавати матеріальній точці прискорення. Це прискорення буде напрямлене в бік положення рівноваги. Модуль рівнодійної цих сил (вертикальної сили) знаходимо із прямокутного трикутника FOA: 

F = mgsina. 

У разі малих кутів відхилення sina a = x/l. Ураховуючи, що напрям зміщення і вертальної сили протилежні, отримаємо , де х - абсолютне значення зміщення маятника від положення рівноваги. Оскільки за другим законом Ньютона F = ma, то прискорення маятника , де . Період коливань математичного маятника 

. (5.1.3) 

Згідно з формулою (5.1.3) можна зробити висновок, що період коливань математичного маятника не залежить від маси тіла, а визначається лише довжиною підвісу і прискоренням вільного падіння. 

Ще одним прикладом гармонічного коливання є коливання тіла на пружині (рис.5.1.4). У стані рівноваги (рис.5.1.4, положення х = 0) пружина поки що не деформована, тому на тіло сила пружності не діє. Сила тертя між тілом і опорою дорівнює нулю. Сила тяжіння зрівноважена силою реакції опори. Якщо вивести тіло зі стану рівноваги, перемістивши його вздовж осі Ох на відстань x = ± A (ліворуч або праворуч), а потім відпустити, то маятник буде вільно коливатися під дією сили пружності за законом x = Asinwt. Згідно із законом Гука (Fпр)x = – kx. За другим законом Ньютона (Fпр)x = ma, де m - маса тіла пружинного маятника; а - його прискорення, або , де . 

 

Період коливань пружинного маятника 

. (5.1.4) 

Як видно з формули (5.1.4) період і частота коливань пружинного маятника не залежать від прискорення вільного падіння, а визначаються лише масою підвішеного тіла і жорсткістю пружини.